2016.07.14: 理論

最大の定理・最小の定理を用いた電力の計算

数学にて、最大の定理・最小の定理を学習されましたら、
次は下記の例題を解いてみましょう。

〔例題〕
起電力が $\displaystyle E$ 〔V〕で内部抵抗 $\displaystyle r$ 〔Ω〕の電池がある。この電池に抵抗 $\displaystyle R_1$ 〔Ω〕と可変抵抗 $\displaystyle R_2$ 〔Ω〕を並列につないだとき，抵抗 $\displaystyle R_2$ 〔Ω〕から発生するジュール熱が最大となるときの抵抗 $\displaystyle R_2$ 〔Ω〕の値を表す式として，正しいのは次のうちどれか。

〔解答〕
①電池からみた全抵抗は、

$\displaystyle R = r+\frac{R_1 \times R_2}{R_1+R_2} = \frac{r \left( R_1+R_2 \right)+R_1 R_2}{R_1+R_2}$

②全電流は、

$\displaystyle I=\frac{E}{R}=\frac{\left( R_1+R_2 \right) E}{r \left( R_1+R_2 \right)+R_1 R_2}$ 〔A〕

したがって、 $\displaystyle R_2$ に流れる電流 $\displaystyle I_2$ は

$\displaystyle I_2=\frac{(R_1+R_2)E}{r(R_1+R_2)+R_1 R_2}\times\frac{R_1}{R_1+R_2}=\frac{R_1 E}{r(R_1+R_2)+R_1 R_2}$ 〔A〕

となる。

③で消費される電力は、

$\displaystyle P = {I_2}^2 R_2$ $\displaystyle = \left( \frac{R_1E}{r(R_1+R_2)+R_1 R_2} \right)^2 R_2 = \frac{\left(R_1E \right)^2 R_2}{\left(rR_1+rR_2+R_1R_2\right)^2}$ $\displaystyle =\frac{\left(R_1E \right)^2R_2}{\{rR_1+R_2 \left(r+R_1\right) \}^2} = \frac{\left( R_1E \right)^2R_2}{{R_2}^2 \left(r+R_1 \right)^2+2rR_1R_2(r+R_1)+r^2{R_1}^2}$

$\displaystyle =\frac{(R_1 E)^2}{R_2(r+R_1)^2+2rR_1(r+R_1)+ \frac{r^2{R_1}^2}{R_2} }$ 〔W〕