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複素数を含む分数式の計算方法は？

2016.07.13: 数学

複素数を含む分数式の計算方法は？

複素数を含む分数式の計算方法って、どのようなものがあるのでしょうか？
例題を使って計算方法を確認していきましょう。

〔例題〕
$\displaystyle \frac{j}{(2-j)}-\frac{j}{(2+j)}$

〔解答〕
$\displaystyle \frac{j}{(2-j)}-\frac{j}{(2+j)}\\ =\frac{j}{(2-j)}\times\frac{(2+j)}{(2+j)}-\frac{j}{(2+j)}\times\frac{(2-j)}{(2-j)}\\ =\frac{j(2+j)}{(2^2-j^2)}-\frac{j(2-j)}{(2^2-j^2)}=\frac{j2+j^2}{5}-\frac{j2-j^2}{5}=\frac{j2-1-(j2+1)}{5}=\frac{j2-1-j2-1}{5}\\ =-\frac{2}{5}$

複素数を含む分数式の考え方は、まず、分母の有理化を行います。
分母の有理化とは、分母から虚数jをなくす計算のことです。
本問のように分母が複素数(実数+虚数)になっているときには、複素数の＋、－が逆になった複素数(共役複素数という)をかけることで分母から虚数をなくします。

＋、－逆符号をかける理由は以下のとおりです。

逆符号をかけた場合
$\displaystyle (a+jb)(a-jb)=a^2-(jb)^2=a^2-j^2b^2=a^2-(-1)b=a^2+b^2$

（ $\displaystyle (a+b)(a-b)=a^2-b^2$ の公式による）

このように虚数がなくなります。

同符号をかけた場合
$\displaystyle (a+jb)(a+jb)=a^2+2a\times jb+(jb)^2=a^2+j2ab+j^2b^2=a^2+j2ab-b^2$

（ $\displaystyle (a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ の公式による）

これでは虚数がなくなりません。

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