2016.07.13: 数学

n乗根の計算について

$\displaystyle n$ 乗根（ $\displaystyle n$ が3以上の場合）の計算は、平方根（ルート）の延長です。また、 $\displaystyle n$ 乗根は、分数の指数で表されます。
前回までの数学1~3回目までの講座も併せてご覧になって下さい。

n乗根とは

$\displaystyle n$ 乗して $\displaystyle a$ になる数を $\displaystyle n$ 乗根といいます。
$\displaystyle \sqrt[n]{a}$ と表し「 $\displaystyle n$ 乗根 $\displaystyle a$ 」といいます。

$\displaystyle 2\times 2\times 2=2^{3}=8$ なので、2は8の3乗根です。

$\displaystyle \sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^{3}}=2$ (3乗根8＝2)

$\displaystyle 2\times2\times2\times2=2^4=16$ なので、2は16の4乗根です。

$\displaystyle \sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{2^4}=2$ （4乗根16＝2）

$\displaystyle \sqrt[2]{4}=\sqrt[]{4}=\sqrt{2^2}=2$
2乗根（平方根）のときだけ $\displaystyle \sqrt[2]{ }$ は単に $\sqrt{ }$ で表しルートと呼びます。

n乗根の計算公式

$\displaystyle a$ ＞0 , $\displaystyle b$ ＞0 で、 $\displaystyle n$ が自然数のとき、

① $\displaystyle (\sqrt[n]{a})^{n}=\sqrt[n]{a^{n}}=a$

　 ${\left(\sqrt[3]{a} \right) }^3={\sqrt[3]{a}}\times{\sqrt[3]{a}} \times{\sqrt[3]{a}} =\sqrt[3]{a\times a\times a}=\sqrt[3]{a^3}=a$

② $\displaystyle \sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\times b}$ ・ $\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b} }=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$
同じ乗根同士のかけ算・割り算は一つの乗根にまとめられます。