2016.07.13: 数学

三角関数を利用して三角形の面積を求めるには？

三角関数を使って三角形の面積を求めることは、電験三種の問題で必要なときがたまにあります。
では、どのように求めるのでしょう？
例題を使って、見ていきましょう。

〔例題〕
下図の△ABCの状態が(1)～(3)のときの面積を求めよ。
05-1

(1)　 $\displaystyle \theta=30^\circ$ 、 $\displaystyle c= 8$ 〔cm〕、 $\displaystyle a=12$ 〔cm〕
(2)　 $\displaystyle \theta=45^\circ$ 、 $\displaystyle c=10$ 〔cm〕、 $\displaystyle a=16$ 〔cm〕
(3)　 $\displaystyle \theta=60^\circ$ 、 $\displaystyle c=12$ 〔cm〕、 $\displaystyle a= 8$ 〔cm〕

〔解答〕
三角形の高さhを三角関数の利用で求めます。
(1) $\displaystyle h=8\sin30^\circ=8\times\frac{1}{2}=4$ 〔cm〕 ∴面積 $\displaystyle =12\times4\times\frac{1}{2}=24$ 〔 $\displaystyle \rm cm^2$ 〕
(2) $\displaystyle h=10\sin45^\circ=10\times\frac{1}{\sqrt{2}}=5\sqrt{2}$ 〔cm〕 ∴面積 $\displaystyle =16\times5\sqrt{2}\times\frac{1}{2}=40\sqrt{2}$ 〔 $\displaystyle \rm cm^2$ 〕
(3) $\displaystyle h=12\sin60^\circ=12\times\frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$ 〔cm〕 ∴面積 $\displaystyle =8\times6\sqrt{3}\times\frac{1}{2}=24\sqrt{3}$ 〔 $\displaystyle \rm cm^2$ 〕

三角関数を使用すると、高さが問題で与えられていなくても、面積を求めることができるのです。

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