さくっと合格レシピ

n乗根 の計算について

n乗根(nが3以上の場合)の計算は、平方根(ルート)の延長です。また、n乗根は、分数の指数で表されます。
前回までの数学1~3回目までの講座も併せてご覧になって下さい。

 

(1)n乗根とは

n乗して aになる数をn 乗根といいます。
\displaystyle \sqrt[n]{a} と表し「 n 乗根 a 」といいます。

2\times 2\times 2=2^{3}=8なので、2は8の3乗根です。

\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2^{3}}=2(3乗根8=2)

2\times2\times2\times2=2^4=16なので、2は16の4乗根です。

\sqrt[4]{16}=\sqrt[4]{2^4}=2(4乗根16=2)

\sqrt[2]{4}=\sqrt[]{4}=\sqrt{2^2}=2
2乗根(平方根)のときだけ \sqrt[2]{ }は単に\sqrt{ }で表しルートと呼びます。

 

(2) n乗根の計算公式

a>0 , b>0 で、 n が自然数のとき、

(\sqrt[n]{a})^{n}=\sqrt[n]{a^{n}}=a

 {\left(\sqrt[3]{a} \right) }^3={\sqrt[3]{a}}\times{\sqrt[3]{a}} \times{\sqrt[3]{a}} =\sqrt[3]{a\times a\times a}=\sqrt[3]{a^3}=a

 
\displaystyle \sqrt[n]{a}\times \sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a\times b}\displaystyle \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b} }=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}
同じ乗根同士のかけ算・割り算は一つの乗根にまとめられます。

 
\displaystyle \sqrt[n]{a}=a^{\frac{1}{n}}

 
\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}=a^{\frac{m}{n}}

※ ③,④は、 乗根の指数を使った表し方です。

 

(3) 電験3種で n乗根(分数の指数)を使う計算問題

「電力」の水力発電で、水車の比速度の計算をするときに必要となります。

比速度\displaystyle N_{s}=N\times \frac{P^{\frac{1}{2}}}{H^{\frac{5}{4}}} [m・kW] という公式があります。

ただし、N:水車の回転数[ min^{-1}], P:水車出力[kW], H:有効落差[m]

ここで、\displaystyle P^{\frac{1}{2}}=\sqrt{P}

\displaystyle H^{\frac{5}{4}}=H^{\frac{4}{4}+\frac{1}{4}}=H\times\sqrt[4]{H}

上の公式で、

N =500[ min^{-1}], P =10 000[kW], H =81[m] とすると、

\displaystyle P^{\frac{1}{2}}=\sqrt{10000}=100

\displaystyle H^{\frac{5}{4}}=H^{\frac{4}{4}+\frac{1}{4}}=H\times\sqrt[4]{H}=81\times \sqrt{\sqrt{81}}=81\times 3=243

となるので、

\displaystyle N_{s}=500\times \frac{100}{243}\fallingdotseq205.8[m・kW] と計算できます。

なお、\sqrt{\sqrt{81}} は、電卓では81\sqrt{}\sqrt{} と押せばよいです。

タグ:
カテゴリー: 合格レシピ:数学
閉じる
翔泳社アカデミーの特長
試験ガイド
効率よい勉強
電験三種の仕事