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最大の定理・最小の定理を用いた電力の計算

数学にて、最大の定理・最小の定理 を学習されましたら、
次は下記の例題を解いてみましょう。

〔例題〕
起電力が\displaystyle E〔V〕で内部抵抗\displaystyle r〔Ω〕の電池がある。この電池に抵抗\displaystyle R_1〔Ω〕と可変抵抗\displaystyle R_2〔Ω〕を並列につないだとき,抵抗\displaystyle R_2〔Ω〕から発生するジュール熱が最大となるときの抵抗\displaystyle R_2〔Ω〕の値を表す式として,正しいのは次のうちどれか。

〔解答〕
①電池からみた全抵抗は、

\displaystyle R = r+\frac{R_1 \times R_2}{R_1+R_2} = \frac{r \left( R_1+R_2 \right)+R_1 R_2}{R_1+R_2}

②全電流は、

\displaystyle I=\frac{E}{R}=\frac{\left( R_1+R_2 \right) E}{r \left( R_1+R_2 \right)+R_1 R_2}〔A〕

したがって、\displaystyle R_2に流れる電流\displaystyle I_2

\displaystyle I_2=\frac{(R_1+R_2)E}{r(R_1+R_2)+R_1 R_2}\times\frac{R_1}{R_1+R_2}=\frac{R_1 E}{r(R_1+R_2)+R_1 R_2}〔A〕

となる。

③で消費される電力は、

\displaystyle P = {I_2}^2 R_2

\displaystyle = \left( \frac{R_1E}{r(R_1+R_2)+R_1 R_2} \right)^2 R_2 = \frac{\left(R_1E \right)^2 R_2}{\left(rR_1+rR_2+R_1R_2\right)^2}

\displaystyle =\frac{\left(R_1E \right)^2R_2}{\{rR_1+R_2 \left(r+R_1\right) \}^2} = \frac{\left( R_1E \right)^2R_2}{{R_2}^2 \left(r+R_1 \right)^2+2rR_1R_2(r+R_1)+r^2{R_1}^2}

\displaystyle =\frac{(R_1 E)^2}{R_2(r+R_1)^2+2rR_1(r+R_1)+ \frac{r^2{R_1}^2}{R_2} }〔W〕

となる。

上記において、\displaystyle R_2(r+R_1)^2=\frac{r^2 {R_1}^2}{R_2}のとき、分母が最小になる。
すなわち、電力Pが最大となる。

\displaystyle R_2(r+R_1)^2=\frac{r^2 {R_1}^2}{R_2} より

\displaystyle R_2=\frac{r R_1}{r+R_1}

ここでは、分母が最小になるとき、分数が最大になる性質と、最小の定理を適用することで、問題を解いています。

「最小の定理がわかりにくい」という方は
数学にて、最大の定理・最小の定理 を学習しましょう。

 

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カテゴリー: 合格レシピ:理論
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